Materi Ajar.   : Bilangan Biner
Kelas.              : X A1-XA6, X S1-XS3
Pertemuan.   : 14
Jumlah Jam.  : 2 JP (90")

BAB 1
DASAR KOMPUTER DIGITAL


Bagian dasar dari Komputer digital :
Input = Keyboard
Control = Control Circuit
Memory = Memory, Storage
Aritmetic Logic Unit
Addition = Penjumlahan
Subtraction = Pengurangan
Division = Pembagian
Multiplication = Perkalian
Output = Monitor, Printer

SISTEM DIGITAL

Komputer digital bekerja dengan menggunakan sinyal yang berbentuk pulsa.
Kondisi dimana ada pulsa / arus yang mengalir ON : 1
Kondisi dimana tidak ada pulsa / arus yang mengalir OFF : 0
Jadi komputer digital hanya mengenal dua macam sandi, yaitu : 1 atau 0, sehingga dalam perhitungannyapun hanya mengenal 2 bilangan, yaitu 0 dan 1. Sistem bilangan yang hanya terdiri dari 2 simbol bilangan 0 dan 1 disebut Sistem Biner.

SISTEM BILANGAN

Sistem bilangan yang biasa digunakan adalah sistem bilangan desimal atau genetik yaitu sistem bilangan dengan baris sepuluh mempunyai 10 simbol : 0, 1, 2,  , 9.
Elektronik digital biasanya menggunakan sistem biner yaitu sistem bilangan berbasis 2 yang mempunyai simbol 0 dan 1.
Sistem bilangan yang lain :
Bilangan Oktal dengan basis 8 : 0, 1, 2, ... , 7.
Bilangan Hexa dengan basis 16 : 0, 1, 2, ... , 15.

SISTEM BILANGAN DESIMAL

Sistem desimal misalnya :
625 = 6 ratusan + 2 puluhan + 5 satuan
625 = 6 X 102 + 2 X 101 + 5 X 100

Rumus Umum :  N = dnRn +  ... + d2R2 + d1R1 + d0R0
dn = Blangan pada posisi ke n
R  = Radix bilangan
n    = Untuk bilangan

Sehingga untuk bilangan :
1257 = 1 X 103 + 2 X 102 + 5 X 101+ 7 X 100
n  = 1257; d3 = 1; d2 = 2; d1 = 5; d0 = 7
SISTEM BILANGAN BINER

Suatu sistem bilangan biner yang hanya mempunyai angka / bilangan 0 dan 1.

Rumus Umum :  N = dn2n +  ... + d323 + d222 + d121 + d020
Contoh : (1101) 2 = 1 X 23 + 1 X 22 + 0 X 21 + 1 X 20
=    8     +    4    +     0    +    1
=  (13)10

Konversi Biner Ke Desimal

(10110) 2 = 1 X 24 + 0 X 23 + 1 X 22 + 1 X 21 + 0 X 20
=    16   +    0    +     4    +    2     +    0
=  (22)10

(110111) 2 = 1 X 25 + 1 X 24 + 0 X 23 + 1 X 22 + 1 X 21 + 1 X 20
=    32   +   16    +     0    +    4     +    2    +    1
=  (55)10

Konversi Desimal Ke Biner

Bilangan desimal dibagi 2
Contoh : (26)10 = (11010)2
  (
26    = 13 + 0 LSB (Least Significant Bit)
 2
13    =   6 + 1
 2
 6      =   3 + 0
 2
 3      =   1 + 1
 2
 1    =   0 + 1 MSB (Most Significant Bit)
 2

Sisa terakhir sebagai Most Significant Bit (MSB) dan sisa pertama sebagai Least Significant Bit (LSB).

SISTEM BILANGAN OCTAL

Suatu sistem bilangan berbasis 8, mempunyai angka / bilangan 0, 1, 2, ... 7.

N = dn8n +  ... + d383 + d282 + d181 + d080

Tabel Octal Ke Biner :

Desimal
Biner

0
0 0 0

1
0 0 1

2
0 1 0

3
0 1 1

4
1 0 0

5
1 0 1

6
1 1 0

7
1 1 1



Konversi Octal Ke Desimal

(13273) = 1 X 84 + 3 X 83 + 2 X 82 + 7 X 81 + 3 X 80
=  4096  + 1536  +   128   +   56    +   3
=  (5819)10

Konversi Desimal Ke Octal

Bagi bilangan berturut  turut dengan 8
Contoh : (5819)10  = ( ... )8

Konversi octal ke biner setiap 3 digit dalam bilangan octal disajikan dalam 3 digit bilangan biner.

(5819)10  =

5819 = 727 + 3
   8
 727  =  90  + 7
   8
  90   =  11  + 2
   8
  11   =   1   + 3
   8
   1    =   0   + 3
   8

SISTEM BILANGAN HEXADESIMAL

Suatu sistem bilangan berbasis 16, mempunyai angka / bilangan 0, 1, 2, ... 15.

N = dn16n +  ... + d3163 + d2162 + d1161 + d0160

Tabel Hexadesimal Dalam Biner :

Desimal
Biner
Hexa

0
0 0 0 0
0

1
0 0 0 1
1

2
0 0 1 0
2

3
0 0 1 1
3

4
0 1 0 0
4

5
0 1 0 1
5

6
0 1 1 0
6

7
0 1 1 1
7

8
1 0 0 0
8

9
1 0 0 1
9

10
1 0 1 0
A

11
1 0 1 1
B

12
1 1 0 0
C

13
1 1 0 1
D

14
1 1 1 0
E

15
1 1 1 1
F


Konversi Desimal Ke Hexadesimal

27(10) = 27(10) =  1B(16)
 
3409 (10) = . (16)

Konversi Hexadesimal Ke Desimal

152B(16) = 1 x 163 + 5 x 162 + 2 x 161 + 11 x 160
   = 1 x 4096 + 5 x 256 + 2 x 16 + 11 x 1
   = 4096 + 1280 + 32 + 11
   = 5419(10)
623(16) = .


SISTEM KONVERSI BILANGAN SELAIN DESIMAL

Konversi Biner Ke Octal

Kelompokan setiap 3 digit dari bilangan biner mulai paling kanan.
Setiap kelompok diubah ke octal.

(1110011001)2  = ( ... )8

001  110  011  001
         
 1      6      3     1

Konversi Octal Ke Biner

(32517)8  = (011 010 101 001 111)2
3 = 011
2 = 010
5 = 101
1 = 001
7 = 111

Konversi Biner Ke Hexa

Kelompokan setiap 4 digit dari bilangan biner mulai paling kanan.
Setiap kelompok diubah ke hexa.


(100111101011100)2  = ( ... )16

0100  1111  0101  1100
       
  4       F        5       C

Konversi Hexa Ke Biner

Setiap digit dalam bilangan hexa disajikan dalam 4 digit bilangan biner.

Contoh : (2A5C)16 ( 2 = 0010
A = 1010
5 = 0101
C = 1100

Konversi Dari Octal Ke Hexa

Konversi ke biner
Dari biner ke hexa

527(8) = .(2)
=  (16)
623(8) = .(2)
=  (16)

Konversi Hexadesimal Ke Octal

Konversi ke biner
Dari biner ke octal

157(16) = . (2)
    = (8)
2A(16) = . (2)
    = (8)
C09(16) = . (2)
  = (8)


SISTEM BILANGAN PECAHAN

Bilangan 0,5176 dibaca :
5 persepuluhan; 1 perseratusan; 7 perseribuan; 6 persepuluhribuan.

N = d1R-1 +  ... + d2R-2 + d3R-3 + dnR-n

SISTEM BILANGAN PECAHAN BINER

Kalikan dengan bilangan 2
Ambil bilangan bulatnya
Sisa dari bilangan bulat kalikan dengan 2 berulang  ulang sampai bilangan bulat pertama.

Contoh : (0,6875)10 = (0,1011)2
0,6875   0,375   0,7500  0,5000
        2         2           2          2
          x         x           x           x
1,3750  0,7500   1,5000 1,0000
       
1    0           1       1

KONVERSI BILANGAN GABUNGAN (BULAT & PECAHAN) DESIMAL KE BINER

Cara Kerja :
Bilangan bulat : kerjakan secara bilangan bulat (biner dibagi 2)
Bilangan pecahan : kerjakan secara bilangan pecahan (biner dikali 2)

(25)10  = (11001)2   (111001,1011)2  = (57,6875)10

25    = 12 + 1 biner ke desimal
2 (111001,1011) :
12    =   6 + 0 = 1 X 25 + 1 X 24 + 1 X 23 + 0 X 22 + 0 X 21 + 1 X 20
2 + 1 X 2-1 + 0 X 2-2 + 1 X 2-3 + 1 X 2-4
6     =   3 + 0 = 57,6875
2
3     =   1 + 1
2
1     =   0 + 1
2

Contoh :

(274,1875)10  = ( ... )2

274  = 137  +  0 8  =  4  +  0 0,1875  0,3750 0,7500  0,5000
  2 2          2 2 2    2
137  =  68   +  1 4  =  2  +  0            x          x          x          x 
  2 2 0,3750  0,7500  1,5000  1,0000
 68   =  34   +   0 2  =  1  +  0
  2 2
 34   =   17  +   0 1  =  0  +  1           0        0          1          1
  2 2
 17   =   8    +    1
  2











ARITMATIKA BINER

Operasi aritmatika terhadap bilangan binari yang dilakukan oleh komputer di ALU terdiri dari 2 operasi yaitu : Operasi penambahan dan operasi pengurangan.

Penjumlahan Bilangan Biner

Pertambahan binari dilakukan dengan cara yang sama dengan pertambahan bilangan desimal :
Digit  digit dari bilangan desimal ditambahkan satu persatu mulai dari posisi kolom paling kanan.
Bila hasil pertambahan antar kolom melebihi nilai 9 maka dikurangi dengan nilai 10 untuk dibawa (carry of) ke pertambahan berikutnya.

Contoh : 273 (  3 dan 9 dijumlahkan hasilnya 12 > 9, karena itu dikurangi 10
    189 +       hasilnya : 2 dengan carry of 1
    462

Pertambahan bilangan biner dilakukan dengan cara yang sama dengan dasar pertambahan bilangan biner sebagai berikut :

0 + 0 = 0   1 + 1 = 0 (  dengan carry of 1, 1 + 1= 2
0 + 1 = 1 karena digit terbesar biner hanya 2 maka dikurangi dengan
1 + 0 = 1 2(basis) jadi 2  2 = 0 sisa 1
1 + 1 = 0

Contoh :        1  1  1  1
         1  0  1  0  0 +
   1  0  0  0  1  1

Pengurangan Bilangan Biner

Dasar pengurangan untuk masing  masing digit bilangan binary adalah :

0  0 = 0
1  0 = 1 0  1 = 1 (  Dengan borrow of 1 (pinjam)
1  1 = 0    digit 1 dari posisi sebelah kirinya
0  1 = 1

Beberapa contoh pengurangan binary :

Tanpa terjadinya peminjaman digit
Desimal       Binary
 27 1  1  0  1  1
9 _      1  0  0  1  _
 
18 1  0  0  1  0




Terjadi peminjaman sebuah bilangan di kolom sebelah kirinya.
Desimal      Binary
29            1  1  1  0  1
     11 _     1  0  1  1  _
 
18 1  0  0  1  0

Caranya : 1  1 = 0
     0  1 = 1       ,dengan borrow of 1
     0  0 = 0
       1  1 = 0
     1  0 = 1

Tidak terjadi peminjaman sebuah bilangan di kolom sebelahnya karena yang akan dipinjam bernilai 0, sehingga harus meminjam di kolom sebelahnya lagi.

Desimal Binary
 25            1  1  0  0  1
      19 _   1  0  0  1  1  _
 
   6   0  0  1  1  0

Caranya : 1  1 = 0
     0 - 1 = 1      , dengan borrow of 1
     1 - 0  0 = 1 , dengan borrow of 1
     1 - 1  0 = 0
     1  1 = 0


BILANGAN KOMPLEMEN

Pengurangan Bilangan Dengan Komplemen

Metode pengurangan binary biasa dilakukan okeh manusia, untuk komputer biasanya menggunakan metode komplemen (complement) yaitu :
Komplemen baris min  1 ( Radix minus one complement )
Komplemen baris ( Radix )

Komplemen pada dasarnya merubah bentuk pengurangan menjadi bentuk pertambahan.
Dalam sistem desimal, ada 2 macam komplemen yaitu :
Komplemen 9 ( 9s complement )
Komplemen 10 ( 10s complement )

Dalam sistem biner :
Komplemen 1 ( 1s complement )
Komplemen 2 ( 2s complement )




Komplemen 9 ( 9s Complement )

Komplemen 9 dari suatu bilangan desimal delakukan dengan cara mengurangkan angka 9 untuk masing  masing digit dalam bilangan pengurang.

Contoh :
Komplemen 9 dari 24 adalah 75, yaitu : 99  24 = 75
Komplemen 9 dari 321 adalah 678, yaitu : 999  321 = 678

Pengurangan biasa Komplemen 9      Dalam komplemen 9 digit yang paling
859 (  859       kiri ditambahkan pada digit paling kanan.
523 _      476 +
336 1335
         1
           +
      336

Komplemen 10 ( 10s Complement )

Komplemen 10 dari suatu bilangan dilakukan dengan cara, hasil komplemen 9 ditambah 1 ( cari komplemen 9 lalu ditambah 1 ).

Contoh : Komplemen 10 dari 24 (  9s = 75
      10s = 75 + 1
                   = 76

Contoh pengurangan :

9s : 859    10s : 859 (  9s : 476 + 1
523 _   477 +
336           1336
                  diabaikan / dibuang

Komplemen 1 ( 1s Complement )

Komplemen 1 dari suatu bilangan biner dilakukan dengan cara mengurangkan semua digit dengan nilai 1 bit / merubah bit 0 menjadi 1 atau bit 1 menjadi 0.

Contoh :
1s dari 10110 = 01001
25     ( 11001    ( 1s : 11001
22 _ 10110-         01001 + 
 3 00011             100010
            1
           
             00011

Dalam komplemen 1, digit 1 paling ujung kiri ditambahkan pada digit paling kanan.


Komplemen 2 ( 2s Complement )

Komplemen 2 dari suatu bilangan biner dilakukan dengan cara, hasil komplemen 1 ditambah 1.
Komplemen 2 dari bilangan biner 10110 (         10110
       1s : 01001  + 1      2s : 01010
25 (    11001    ( 2s : 11001
22          10110  _                 01010 +
 3           00011       100011
                00011
  dibuang / diabaikan

Komplemen 7 ( 7s Complement )

Komplemen 7 dari suatu bilangan oktal dilakukan dengan cara, mengurangkan angka 7 untuk masing  masing digit dalam bilangan pengurangan.

Komplemen 8 ( 8s Complement )

Komplemen 8 dari suatu bilangan dilakukan dengan cara, hasil komplemen 7 ditambah 1 (cari komplemen 7 dulu lalu ditambah 1).

Komplemen 15 ( 15s Complement )

Komplemen 15 dari suatu bilangan hexadesimal dilakukan dengan cara, mengurangkan angka 15 untuk masing  masing digit dalam bilangan pengurangan.

Komplemen 16 ( 16s Complement )

Komplemen 16 dari suatu bilangan dilakukan dengan cara, hasil komplemen 15 ditambah 1 (cari komplemen 15 dulu lalu ditambah 1).



















PERKALIAN BILANGAN BINER

Dilakukan seperti perkalian pada bilangan desimal
Dasar perkalian untuk masing  masing digit bilangan biner
Perkalian binari dilakukan dengan cara operasi pertambahan yang dilakukan secara berulang  ulang.

Bilangan biner :  0 x 0 = 0
              0 x 1 = 0
              1 x 0 = 0
                          1 x 1 = 1
Contoh :
14 1110
12 x 1100 x
28 0000
        14   +         0000
168             1110
     1110        +
   10101000

Jika pengali yang berupa digit biner bernilai 1, hasilnya berupa bilangan biner yang dikali (disalin saja), jika pengali = 0, maka hasilnya = 0

PEMBAGIAN BILANGAN BINER

Dilakukan seperti pembagian pada bilangan desimal
Dasar pembagian untuk masing  masing digit bilangan biner
Pembagian dengan digit biner 0 tidak mempunyai arti
Pembagian Binary yang dilakukan dengan cara operasi pengurangan yang dilakukan secara berulang  ulang.

Bilangan biner :  0 : 0 = 0
              1 : 1 = 1
Contoh :
 25 11001
    5  125   101 1111101
        10   -           101       
 25                   101
25  -             101
101
101
   0










BILANGAN BINER BERTANDA

Bilangan biner positif mempunyai nilai antara 0000 0000(2) = 0010  dan 1111 11112 = 25510.
Untuk membedakan bilangan positif dengan negatif sebuah bilangan desimal diberi tanda - disebelah kiri bilangan. Misal : - 2510
Dalam bilangan biner tanda bilangan yaitu - disandikan dengan cara tertentu yang mudah dikenal dalam sistem digital. Untuk menyatakan bilangan negatif pada bilangan biner, bilangan yang dikenal dengan bit tanda bilangan (sign bit) ditambahkan disebelah kiri MSB.
Bilangan biner yang ditulis dengan cara di atas, menunjukkan tanda dan besarnya bilangan.
Jika bit tanda (sign bit) = 0 ( menunjukkan bilangan positif.
Jika bit tanda (sign bit) = 1 ( menunjukkan bilangan negatif.
Pada bilangan biner bertanda yang terdiri dari 8 bit, bit yang paling kiri menunjukkan tanda, dan 7 bit berikutnya menunjukkan besarnya bilangan.

Contoh :
No. Bit
7
6
5
4
3
2
1
0

Bit
27
26
25
24
23
22
21
20


(tanda)
64
32
16
8
4
2
1


Maka,
[0]1100111 = + (64+32+4+2+1) [0]1111111 = + (64+32+16+8+4+2+1)
= + 103 = + 12710

[1]1010101 = - (64+16+4+1) [1]1111111 = - (64+32+16+8+4+2+1)
= - 8510 = - 12710

Karena hanya 7 bit yang menunjukkan besarnya bilangan, maka bilangan terkecil dan terbesar yang ditunjukkan bilangan biner bertanda terdiri dari 8 bit adalah :

[0] 1111111 = + 12710
[1] 1111111 = - 12710

Bilangan biner tak bertanda yang terdiri dari n bit mempunyai nilai maksimum
M = 2n  1
Bilangan biner bertanda yang terdiri dari n bit mempunyai nilai maksimum
M = 2(n  1)  1
Jadi untuk register 8 bit di dalam mikroprocessor yang menggunakan sistem bilangan bertanda, nilai terbesar yang bisa disimpan dalam register tersebut adalah :
M = 2(n  1)  1
    = 2(8  1)  1
    = 27 1 Jadi jangkauannya = - 12710  sampai  + 12710
    = 128  1
    = 12710



KOMPLEMEN UNTUK BILANGAN BERTANDA

Bilangan negatif sering diberikan dengan sistem komplemen 2.

Bilangan Positif

Komplemen 2 adalah sama dengan sistem yang menunjukkan tanda dan besarnya bilangan, yaitu :
MSB (bit paling kiri) = menunjukkan tanda bilangannya.
Bit sisanya             = menunjukkan besarnya bilangan.

Contoh : + 5410 = 54    =    27 +  0          = [0] 0110110
      2     1s = [0] 1001001
     27    =   13  +  1
      2
     13    =     6  +  1
      2
      6     =     3  +  0
      2
      3     =     2  +  1
      2
      1     =     0  +  1
      2
Jadi : + 5410 = [0] 01101102

Bilangan Negatif

Komplemen 2 dapat diperoleh dengan menghitung terlebih dahulu komplemen 1 dari bilangan semula yang bertanda +, kemudian menambahkan 1 ke LSB-nya (bit paling kanan).

Contoh : - 5410  = [1] 0110110
      1s   = [1] 1001001
                     1 +
      2s   = [1] 1001010



PENGKODEAN

Kode adalah karakter  karakter khusus bisa numerik atau alphabetis yang dipakai sebagai simbol lain. Di dalam komponen digital karakter  karakter khusus tersebut adalah 1 dan 0.
Manfaat kode di dalam komputer adalah :
Untuk mempermudah operasi aritmatika.
Untuk alasan  alasan efisiensi.
Dipakai untuk mendeteksi bahkan mengoreksi data  data yang ditransmisikan.
Untuk alasan keamanan.




Keluarga Binary Coded Decimal (BCD), bilangan desimal yang dikodekan dalam bilangan biner.

Desimal
8421
5421
2*421
Exess-3

0
0000
0000
0000
0011

1
0001
0001
0001
0100

2
0010
0010
0010
0101

3
0011
0011
0011
0110

4
0100
0100
0100
0111

5
0101
1000
1011
1000

6
0110
1001
1100
1001

7
0111
1010
1101
1010

8
1000
1011
1110
1011

9
1001
1100
1111
1100



Contoh :
(153) 10 = ( 0001 1000 0011 ) 5421
(193) 10 = ( 0111 1110 0101 ) 7421
(1011 0100 1111 ) 2*421 = ( 5 4 9 ) 10
(8391) 10 = ( 1110 0011 1111 0001 ) 2*421


KODE GRAY

Konversi biner ke kode gray :
MSB biner = MSB Gray
Selanjutnya bilangan biner menentukan nilai dai gray.
Jika bit biner sebelum = bit biner sesudah, maka gray bernilai 0
Jika bit biner sebelum <> bit biner sesudah, maka gray bernilai 1

Konversi dari kode gray ke biner :
MSB gray = MSB biner
Selanjutnya bit gray, menjadi bit kontrol.
Jika bit gray 1 mengubah digit biner sebelumnya.
Jika bit gray 0 mengulang digit biner sebelumnya.

Contoh :

(11001010010) biner = (10101111011) gray
(100101001110) biner = (110111101001) gray

(10101111011) gray  = (11001010010) biner
(110111101001) gray = (100101001110) biner